L’espérance de gain : le baromètre de la réussite de votre trading

Dans le domaine du backtesting, l’espérance de gain est une valeur qui mesure le profit moyen ou la perte moyenne par trade qu’on peut espérer enregistrer avec la stratégie backtestée.

Les traders se servent de cette mesure pour évaluer la rentabilité d’un système de trading sur le long terme.

Dans cet article, nous vous en disons plus sur l’espérance de gain d’un système de trading, un outil d’évaluation puissant qui vous permet d’aller au-delà du simple taux de réussite de votre système. Après la lecture de cet article, vous saurez comment calculer l’espérance de gain de vos stratégies. Vous saurez aussi comment utiliser cette mesure pour choisir une stratégie parmi celles que vous testez et comment l’affiner à partir des informations fournies par cette mesure. Si vous cherchez un courtier pour exécuter vos stratégies, cliquez ici.

Backtest trading strategy

L’espérance mathématique

L’espérance de gain d’une stratégie de trading est la valeur qu’on peut espérer recevoir après un grand nombre de trades. Il s’agit de l’application au domaine du backtesting du concept d’espérance mathématique utilisé dans la théorie des probabilités. Pour comprendre le concept d’espérance de gain, il faut donc comprendre celui d’espérance mathématique.

En théorie des probabilités, l’espérance mathématique d’une variable aléatoire, c’est la valeur moyenne qu’on peut espérer recevoir si on répète un grand nombre de fois le même événement ou la même opération aléatoire, par exemple lancer un dé un nombre in­fini de fois. On calcule cette valeur en attribuant un « poids » à chacun des résultats possibles, c’est-à-dire en attribuant une probabilité à chacun des résultats possibles.

Si nous décidons de lancer un dé à six faces un nombre in­fini de fois et que, à chaque lancer, nous recevons une somme d’argent égale au nombre affiché par le dé, quelle est la valeur moyenne que nous pouvons espérer recevoir à chaque lancer ? Si nous additionnons les résultats possible, nous obtenons : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Et si nous divisions cette somme par le nombre de faces que comporte le dé, nous obtenons : 21 / 6 = 3,5. La valeur moyenne que nous pouvons espérer recevoir si nous lançons le dé un grand nombre fois s’élève à 3,5 euros ou 3,5 dollars.

Le calcul de l’espérance de gain

Dans le cas de l’espérance mathématique d’une variable aléatoire, comme dans celui de l’espérance de gain d’un système de trading, on calcule la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles résultant d’une série d’événements ou d’opérations. En théorie des probabilités, on calcule l’espérance mathématique en considérant la probabilité de tous les résultats possibles et en additionnant ces résultats possibles. En backtesting, on calcule le gain moyen (ou la perte moyenne) d’une série de trades (appartenant à la même stratégie) en considérant la probabilité de deux résultats possibles (le succès et l’échec) et le montant moyen de chacun de ces deux résultats. En théorie des probabilités, les « poids » utilisés sont des probabilités. En backtesting, ce sont le taux de réussite et le taux d’échec.

Pour effectuer le calcul de l’espérance de gain d’un système de trading, il faut multiplier le taux de réussite du système (le pourcentage que représente le nombre de trades gagnants) par le gain moyen des trades gagnants. Et il faut multiplier le taux d’échec du système (le pourcentage que représente le nombre de trades perdants) par la perte moyenne des trades perdants. L’espérance de gain est la différence entre le produit du gain moyen multiplié par le taux de réussite et le produit de la perte moyenne multipliée par le taux d’échec. Si la différence est positive, on peut s’attendre à ce que le système soit rentable dans le futur. Et plus le nombre obtenu est élevé, plus le système a des chances d’être rentable.

Espérance = (taux de réussite x gain moyen) – (taux d’échec x perte moyenne)

Les avantages du calcul de l’espérance de gain

Évaluer la rentabilité d’un système

L’espérance de gain permet aux traders de quantifier le profit moyen ou la perte moyenne par trade qu’ils peuvent espérer enregistrer sur le long terme en exécutant le système backtesté. Si le rendement moyen attendu est positif, ils peuvent espérer faire des profits avec ce système en moyenne. Si le rendement moyen attendu est négatif, ils peuvent espérer subir des pertes avec ce système en moyenne.

Le choix d’une stratégie

L’espérance de gain présente l’avantage d’être une mesure incontestable. Elle permet aux traders de choisir une stratégie parmi différentes stratégies de trading à partir de données objectives, et non à partir de suppositions ou d’émotions subjectives. Si telle stratégie offre une espérance de gain de 40 € et que telle autre stratégie ne permet d’espérer que 20 € par trade, la première stratégie est objectivement supérieure à la seconde.

Affiner les règles d’entrée d’une stratégie

On peut se servir de l’espérance de gain pour affiner les règles d’entrée d’une stratégie. Pour ce faire, on compare les espérances de gain de la stratégie dans différentes conditions et on ajoute à la stratégie la règle de n’entrer sur le marché que lorsque les conditions les plus favorables sont réunies.

Prenons l’exemple d’une stratégie impliquant des options. Dans le backtest considéré, on vend un short strangle sur le sous-jacent SPY en utilisant le call de delta 0,16 et le put de delta -0,16 et en sélectionnant le cycle qui expire dans 45 jours. La période considérée s’étale sur les 20 dernières années. On calcule l’espérance de gain de la stratégie dans différents environnements de volatilité. On s’aperçoit que lorsque le rang de volatilité implicite est inférieur à 20, l’espérance de gain est négative. Lorsque le rang de volatilité implicite est supérieur à 20, l’espérance de gain est positive. On a donc intérêt à ajouter à la stratégie la règle de n’entrer sur le marché que lorsque la volatilité implicite est élevée.

Le contrôle du risque

L’espérance de gain peut aider les traders à déterminer le prix de l’ordre stop-loss qu’ils vont utiliser pour maîtriser leur risque. Ils peuvent en effet utiliser le montant de ce rendement moyen attendu pour déterminer la distance à laquelle il vont placer leur stop. Si, par exemple, l’espérance de gain d’une stratégie s’élève à 20 € par trade, on peut décider de placer son stop 20 points au-dessous (position longue) ou au-dessus (position courte) du prix d’entrée pour parvenir à un ratio rendement-risque de 1:1.

Les limites de l’espérance de gain

L’espérance de gain n’est qu’une valeur moyenne. Même lorsqu’elle est positive, elle n’assure pas le trader qui utilise la stratégie concernée de ne pas subir avec cette stratégie une séries de pertes successives. Et l’espérance de gain ne donne pas d’informations sur l’ampleur du drawdown qui serait subi si la taille des pertes accumulées dépassaient celle des profits enregistrés sur une période donnée.

Exemple d’un backtest

Prenons l’exemple de la stratégie Luxor, une stratégie élaborée par Urban Jaekle dans le livre sur le backtesting qu’il a co-écrit avec Emilio Tomasini. Dans la deuxième partie de ce livre, U. Jaekle élabore une stratégie à la fois haussière et baissière en partant d’une idée simple : passer long lorsque la moyenne mobile rapide passe au-dessus de la moyenne mobile lente, et passer court lorsque la moyenne mobile rapide passe au-dessous de la moyenne mobile lente. Voici les résultats du backtest qu’il a réalisé pour cette trading strategy :

Le taux de réussite s’élève ici à 26,41 % et le gain moyen à 847 $. Le taux d’échec s’élève à 73,59 % et la perte moyenne à 258 $. On peut calculer l’espérance de gain de cette stratégie comme suit :

(26,41/100 * 847) – (73,59/100 * 258) = 223,69 – 189,86 = 33,83 $

L’espérance de gain est ici un nombre positif. Remarquons également que le nombre de trades réalisés par le backtest est relativement élevé (2980). Cela permet de considérer que la probabilité de voir la stratégie réaliser une performance similaire dans le futur est plus élevée qu’avec un backtest qui produirait moins de trades.

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Sources